线性代数 学习笔记
本笔记主要是从 b 站视频中学习的。
1. 二维向量可以看成是对基的 \vec{i} , \vec{j} 和标量的相乘。
2. 二维向量 a * \vec{v} + b * \vec{w} 是对向量 a * \vec{v} 和 b * \vec{w} 进行了线性组合。
3. 当二维向量中的 a 不变， b 一直变化，变化出的向量组成了一条直线。其实可以这样理解，如果我们不用 x,y 轴作为基，以 \vec{v} 和 \vec{w} 为基，那么相当于 v 坐标轴数值不变， w 坐标轴数值一直在动，所以肯定是一条直线了。
4. 两个二维向量的张成空间就是整个平面，除非这两个二维向量共线，获得是 零向量。
5. 在三维空间中，两个向量进行缩放所形成的也是一个平面。 这个可以这样想，三维空间中，从零点出发的任意两个线肯定是可以共面的，那么只要把基变换一下就可以了，把基变换成这两个向量，那么问题又回到了 两个二维向量的张成空间了。
6. 在两个三维向量上再增加一个三维向量，那么对这第三个三维向量缩放的过程，就是前两个三维向量组成的面进行整体平移的过程。除非这第三个三维向量落在前两个三维向量的平面上，那么这三个向量还是共面的关系。这时候我们称这第三个三维向量和前两个向量是线性相关的，它并不能给张成空间增加新的维度。 所以对于基的定义就是 向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关的向量集。
7. 线性变换就是整个平面上的向量进行线性变换成另外的向量。 变换结束以后，只有同时满足原点不变，所有的原来的由向量末端的点组成的直线变换后还是直线，这样才是线性变换。可以简单理解为原点不变，网格线继续保持平行。
8. 线性变换后，首先看下基是怎么变换的，标量 a, b 是不变的，变换后的向量还是原来的标量乘上变换为的基即可。
9. \vec{i} -> [ \begin{matrix} 1\\ -2\\ \end{matrix} ] , \vec{j} -> [ \begin{matrix} 3\\ 0\\ \end{matrix} ] .
当原来的 (-1, 2) 这个向量，或者写成 [
直接从坐标上面硬算，（ -1, 2) 这个可以看成是 -1 \vec{i} + 2 \vec{j} , 那么变换后的 x 轴的坐标就是 -1 ix + 2 jx = -1 1 + 2 3 = 5, y轴的坐标就是 -1 -2 + 2 0 = 2, 所以变换后的坐标就是 (5, 2), 或者写成 [ \begin{matrix} 5\\ 2\\ \end{matrix} ]
通过矩阵的方式是另外一种算法。(-1, 2) 这个向量就是 x = -1, y = 2 的向量。变换本质是一种运动的过程，向量本身就包含了运动的信息，含有长度和方向。所以想知道结果，直接和基变换的向量相乘，直接 x 乘以 \vec{i} 变换后的向量，同理 y 也是一样。
x [
从这个计算中我们也可以简化一些写法，比如说我们约定好矩阵第一行是 x，第二行是 y，那么 本身坐标系的变换时 \vec{i} 变换成了 [ \begin{matrix} 1\\ -2\\ \end{matrix} ], \vec{j} 变换成了 [ \begin{matrix} 3\\ 0\\ \end{matrix} ]， 那么我们可以合起来，把变换写成 [ \begin{matrix} 1&3\\ -2&0\\ \end{matrix} ]。 原来的坐标 [ \begin{matrix} -1\\ 2\\ \end{matrix} ] 和这个变换相乘，就可以写成矩阵的乘法，即：
[
从这个可以看出，矩阵可以认为是变换的过程的描述，矩阵相乘可以写成公式: [ \begin{matrix} ix&jx\\ iy&jy\\ \end{matrix} ] [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} ] = x [ \begin{matrix} ix\\ iy\\ \end{matrix} ] + y [ \begin{matrix} jx\\ jy\\ \end{matrix} ] = [ \begin{matrix} ix * x & jx * y\\ iy * x & iy * y\\ \end{matrix} ]
10. 我们可以根据基变换后的坐标，就可以想象出整个张成空间随着基变换所做出的变化。但是注意，如果变换后的 i 和 j 是线性相关的，即它们再一条线上，那么整个二维空间变换后就都被挤压在一条线上，变成一维空间了。
11. 记住，当你看到一个矩阵的时候，你可以解读为对空间的一种变换。
12. 当一个向量先进行旋转变换再进行剪切变换，那么按照步骤可以写成 [ \begin{matrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{matrix} ][ \begin{matrix} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} ][ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} ] ，我们也可以直接按照旋转剪切最后的结果复合矩阵直接进行变换 [ \begin{matrix} 1 & -1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} ][ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} ]。 这两种计算的结果是一样的，我们可以给他们画个等号，如果两边都除去 [ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} ], 那么结果是 [ \begin{matrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{matrix} ][ \begin{matrix} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} ] = [ \begin{matrix} 1 & -1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} ]， 这个也可以认为是矩阵的乘积。
矩阵相乘的几何意义就是变换时相继发生的。需要注意的时这个需要从右向左读，比如 [
13. 矩阵乘法的计算，就是分别计算 i 和 j 的变换，记住从右向左。
[
那么 i 和 j 最后变换的结果就是 [
14. 矩阵相乘，先后顺序不能变，这个可以先旋转再剪切，先剪切再旋转，看下 i 和 j 的结果就明白了。
15. 因为矩阵是变换，所以原来的 i,j 所形成的四边形的面积经过矩阵变换后，形成的新的四边形面积不一定是一样的，新的面积除以旧的面积，结果就是一个系数，这个系数既标识这个 i,j 的最小面积变换的系数，也是针对这个变换的所有面积的系数。这个系数也就是这个矩阵的行列式。
注意如果行列式为 0，这是代表被压缩了维度，可能从二维变成了一条线，甚至一个点。 如果行列式为负数，那么这个符号表示整个平面发生了翻转，绝对值还是那个比例系数。 正常 j 实在 i 的左边，翻转了之后，j 就到了 i 的右边。保持 j 不动， i 逆时针旋转，随着越来约靠近 j，面积被压缩的越来越厉害，当 i 和 j 重合的时候，面积为0，当 i 继续旋转 到了 j 的左边，这个就变为负数了。
16. 三维空间也一样，i, j, k 这个体积经过矩阵变换，这个 1 1 1 的立方体，就变成了一个平行六面体，这个行列式的值也就是这个六面体的体积，同时也是比例系数。当这个值为0 的时候，就意味着这个三维空间变成了一个二维的面，甚至是线或者点。
在三维空间，使用右手表示方向，食指是i，中指是 j，大拇指是 k， 这个时候表示正向。如果变换后，不能用右手表示，只能用左手表示，那么体积为负，也就是行列式为负。
17. 行列式的计算，首先看特殊情况， det([ \begin{matrix} a & 0\\ 0 & d\\ \end{matrix} ])， 这种变换就是最简单的 i 拉伸了 a，j 拉伸了 d，那么面积就是 ad，所以行列式值就是 ad。 det([ \begin{matrix} a & b\\ 0 & d\\ \end{matrix} ]) 这个就是平行四边形，面积还是 ad，也就是 ad - b * 0。对于 det([ \begin{matrix} a & b\\ c & d\\ \end{matrix} ]) 结果就是 ad - bc。
从面积上计算是这样的：
参考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/110497442 https://www.zhihu.com/column/c_1029672383375949824 https://www.zhihu.com/people/san-shao-ye-de-jian-37/columns https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=8 https://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397